#头条创作挑(tiao)战赛#
高中数学基础知识非常重(zhong)要，但是有一些题目却不一定(ding)要用到这些基础知识，而是可(ke)以选择更简便的方(fang)法，特别常见于选择题。比如下面这(zhe)道2022年新(xin)高考数学全国卷II，关于三角函(han)数公式的选择题。当然可以利用几个(ge)常用的三角函数公式来解决，但(dan)也可以绕开这些公式，解决起来会更(geng)简便。
若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π/4)sinβ, 则
A. tan(α+β)=-1；B. tan(α+β)=1;C. tan(α-β)=-1；D. tan(α-β)=1.
分析：这道(dao)题当然是有速解的方法的，但是老黄担心你听完(wan)速解的方法，就不管(guan)一般的方法了，所以决定先讲一般的(de)解法，基础扎实才是王道啊。
一个角的正弦与余弦的和(he)，可以化为这个角(jiao)与四分之π的和的(de)正弦函数的√2倍，这个公式一定要记(ji)牢哦。
如果是sina+cosa=√2sin(a+π/4)的形式，可能更多人容易接(jie)受，但这里的角却是“α+β”，有些小伙伴可能就会适应不了了。
然后(hou)把等式右边的正弦看com作两角(jiao)和的正弦，一个角是α+π/4，另一个角是β。运用“和的正弦公式”展开，就(jiu)可以得到√2sin(α+π/4)cosβ+√2cos(α+π/4)sinβ=2√2cos(α+π/4)sinβ.
现在等式两边有(you)同类项，进行移项合并，并且可(ke)以选择约掉系数(shu)√2，得到：sin(α+π/4)cosβ-cos(α+π/4)sinβ=0.
不(bu)过留着√2也不是没用的。现在运用两(liang)角差的正弦公式的逆公式，可以得到(dao)sin(α-β+π/4)=0.
观察这个式子(zi)，有没有发现，它是(shi)第一步的一个逆过程，即可以转化为同一个(ge)角的正弦和余弦的和的形式，只不过这次这个角变(bian)成了“α-β”，而不是“α+β”了。
即sin(α-β)+cos(α-β)=0,从而可知，α-β的正弦和余弦(xian)互为相反数。因此有(you)tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)=-1, 选C.
整个(ge)解题过程其实是对称的，感觉还是相当(dang)解压的。不过这种解(jie)法很容易引来网友的吐槽，因为聪明的人太多，他们一眼就(jiu)能看出，老黄的这个解法太过(guo)拖沓。只要运用“特(te)值法”，这道题就可以轻松地解决。聪明人是不会为(wei)老黄这样的笨人考虑一(yi)下的。下面老黄就(jiu)给有需要的小伙伴们介绍(shao)速解的方法。
只要取β=0，那么就有sinα+cosα=0, 再取α=-π/4, 从而tan(α+β)=-1，tan(α-β)=-1;，这样就(jiu)可以排除B、D选项。但却不能(neng)肯定C是正确的。因(yin)为想要否定一件事情，只需一个特(te)例就足够了。但想要证(zheng)明一件事情，一个特例却并不足够(gou)。
其中β是(shi)任取的，只要取一个适合运算的值就(jiu)可以了，而α并(bing)不是任取的，因为一个周期内，有两(liang)个α满足正弦和余弦相反的条件。从而(er)在每个周期中都(dou)有符合条件的α，这样的α有无穷个，我们(men)只要取一个符合条件，且方便我们(men)运算的就可以了。
再取α=０，同样(yang)是任取的。那么就有sinβ+cosβ=2sinβ, 可化得sinβ=cosβ，从而可(ke)以在无数个满足条件的β中(zhong)取β=π/4, 则tan(α+β)=1，排除A. 选C. 虽(sui)然理论上我们并没有证明C是正确的(de)，但也没有确定它是错误的。而A，B，D已经确定错误，除非题目(mu)没有正确的选项，否则(ze)就只能选C。
严格来说，这种方法不能称为(wei)简便解法，因为它其实是不严谨(jin)的。实际上它是探究问题的一种方法，但一般只是探究问题整个(ge)过程中的一个部分，在考试中(zhong)可以用来解决选择或填空等小(xiao)题，不能当作一种完(wan)整严谨的解法。你怎么看呢？
