几何布朗(lang)运动（几何布朗运动的期望）

几何布朗运动就(jiu)是物理中典型的随机运动，其(qi)特点就是不可预测，而在股(gu)市中的短期股票价格(ge)也是不可预测。

几何布朗运动

一、正态随机变量概率密度函(han)数描述：

(μ为(wei)总体均数、σ为标准差）

二、布朗运动的数学描述：

价格时间函数P(x），T+t时刻的价格P(T+t)与T时刻价(jia)格P(T)的差值：P(T+t)-P(T)是(shi)一个正态随机变量，分布的平均(jun)期望值μt，标准差为。（T0，t0)

重大缺陷(xian)：

1、按此价格理(li)论上可有负值，但(dan)实际中价格不可能(neng)存在负值。

2、不论价格初值为何值，固定时(shi)间长度的价格差具有相同的正态分布，不符合常理。

三、几何布朗运动：

把价格差改(gai)为价格的涨跌幅：可以避免直接使用(yong)布朗运动描述价(jia)格的缺陷，即为几何(he)布朗运动。

是(shi)一个正态随机变量，分布的平(ping)均期望值μt，标准(zhun)差为。（T0，t0)

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几何布朗运动

几何布朗运动的作用是用来模拟(ni)股价的变动。它的好处在于，一般(ban)形式布朗运动中取值可能为负数(shu)，而几何布朗运动取值永远不小(xiao)于0，这一点符合股价永远(yuan)不为负的特征。

几何布朗运动微分形式的表(biao)述。或者称SDE（随机微分方(fang)程）形式：

其中的S(t)可以理解为股价。

几何布朗运动函数形式(shi)表述：

上述式子告诉我们，可以(yi)先生成一服从的一般形式布朗运动，然(ran)后求其指数函数，最后乘以(yi)S(0)，即期初的股价，就可以得到几何布朗运动。

补充：为何这里(li)t的系数多出一项？具体可以参考(kao)伊藤公式。

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几何布朗运动 (GBM) (也叫做指(zhi)数布朗运动) 是连续时间情况(kuang)下的随机过程,其中随机变量的对数遵循布朗运动,[1] also called aWiener process.几何布朗运动在金融数学(xue)中有所应用,用来在布莱(lai)克-舒尔斯定价模型中模仿股(gu)票价格.

分数布朗运动

世界是(shi)非线性的,宇宙(zhou)万物绝大部分不(bu)是有序的、线性的、稳定的,而是混沌的、非(fei)线性的、非稳定和涨落不定(ding)的沸腾世界.有序的、线性的、稳定的(de)只存在于我们自己构造的理论宫殿,而现实宇宙充满了分形.在股票(piao)市场的价格波动、心率及脑(nao)波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自(zi)然现象和社会现(xian)象中存在着一类近乎全随机的(de)现象,它们具有如下特性：在时域或空域上有自相似性和长时相(xiang)关性和继承性；在频域上,其功率(lu)谱密度在一定频率范围内基本符(fu)合1/f的多项式衰减规律.因(yin)此被称为1/f族(zu)随机过程.Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分(fen)数布朗运动(fractional Brownian motion,FBM)模型是(shi)使用最广泛的一种,它具(ju)有自相似性、非平稳性两个重要(yao)性质,是许多自然现象和社会现象的(de)内在特性.分数布朗运动被赋予不同的(de)名称,如分形布(bu)朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过(guo)程等.

没听过几何(he)布朗运动

貌似有布朗运动和布朗实验

悬浮微粒不停地做无(wu)规则运动的现象叫做布朗运(yun)动

这是1826年(nian)英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬(xuan)浮在水中的花粉是发现的。后来(lai)把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液(ye)体中各种不同的悬浮微(wei)粒，都可以观察到(dao)布朗运动。

那么，布朗运(yun)动是怎么产生的呢？在显微镜下看起来(lai)连成一片的液体，实际上是由(you)许许多多分子组成的。液(ye)体分子不停地做无规则的(de)运动，不断地抓(zhua)高年级微粒。悬(xuan)浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击(ji)作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的(de)撞击作用强，致使微粒又向其它方向运(yun)动。这样，就引起了(le)微粒的无规则的布(bu)朗运动。

1827年，苏格兰植物学(xue)家R。布朗发现水中的花(hua)粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规(gui)则的折线运动，称(cheng)为布朗运动。人们(men)长期都不知道其中的原理。50年后，J·德耳索提出这些微(wei)小颗粒是受到周围分子的不平衡的碰撞(zhuang)而导致的运动。后来得到爱因斯坦的(de)研究的证明。布朗运动也就成(cheng)为分子运动论和统计力学发展(zhan)的基础。

悬浮在液体(ti)或气体中的微粒(线(xian)度~10－3mm)表现出的永不停(ting)止的无规则运动(dong)，如墨汁稀释后碳粒在(zai)水中的无规则运动，藤(teng)黄颗粒在水中的(de)无规则运动……．而且温度越高，微粒(li)的布朗运动越剧烈．布朗运动代表(biao)了一种随机涨落现象，它不(bu)仅反映了周围流体内部分子运动的无规(gui)则性，关于它的理论在其他许多领(ling)域也有重要应用，如对测量仪表(biao)测量精度限度的研究、对高倍放大的(de)电讯电路中背景噪声的研究等等．

19世纪中对布朗运(yun)动的研究

布朗的发(fa)现是一个新奇的现(xian)象，它的原因是什么？人们是迷惑不(bu)解的。在布朗之后，这一问题一再被提(ti)出，为此有许多(duo)学者进行过长期的研(yan)究。一些早期的研究者简单地把它归(gui)结为热或电等外界因(yin)素引起的。最早隐约指(zhi)向合理解释的是维纳(1826——1896)，1863年他(ta)提出布朗运动起源于(yu)分子的振动，他还公布(bu)了首次对微粒速度与粒度关(guan)系的观察结果。不过他的分子模型(xing)还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是振动。

在维纳之后，S·埃(ai)克斯纳也测定了微粒的移动速度。他提(ti)出布朗运动是由(you)于微观范围的流动造(zao)成的，他没有说明这种流动的根源，但他看到在加热和光照使液体粘度(du)降低时，微粒的运动加剧了。就(jiu)这样，维纳和S.埃克斯纳都把布朗(lang)运动归结为物系自身的性质。这一时期还有康托尼，他(ta)试图在热力理论的基础上解释布(bu)朗运动，认为微粒可以看成(cheng)是巨大分子，它(ta)们与液体介质处于热平衡，它(ta)们与液体的相对运动起源于渗透(tou)作用和它们与周围液体之间的相互作(zuo)用。

到了(le)70——80年代，一些学者明(ming)确地把布朗运动归(gui)结为液体分子撞击微粒的(de)结果，这些学者有卡蓬内尔、德尔索(suo)和梯瑞昂，还有耐格里。植物学家耐格里(1879)从真菌(jun)、细菌等通过空气传播的现象，认(ren)为这些微粒即使在静止的空气中(zhong)也可以不沉。联系到(dao)物理学中气体分子以(yi)很高速度向各方向运动的(de)结论，他推测在阳光下看(kan)到的飞舞的尘埃是气体分子从各方向(xiang)撞击的结果。他说(shuo)：“这些微小尘埃就象弹性球一(yi)样被掷来掷去，结果如同分子本身一(yi)样能保持长久的悬(xuan)浮。”不过耐格里又放弃了这一可能达(da)到正确解释的途径，他计算了单个(ge)气体分子和尘埃微粒发生弹性碰撞时微(wei)粒的速度，结果要比实际观察(cha)到的小许多数量级，于是他认(ren)为由于气体分子运动的无规(gui)则性，它们共同(tong)作用的结果不能使微粒(li)达到观察速度值(zhi)，而在液体中则由(you)于介质和微粒的摩擦阻力和分子间的(de)粘附力，分子运动的设想不能成为(wei)合适的解释。

1874——1880年间，卡蓬(peng)内尔、德耳索和梯(ti)瑞昂的工作解决了耐格里遇到的难题(ti)。这里的关键是他们认(ren)为由于分子运动的无规则性和(he)分子速度有一分布，在液体或气(qi)体中的微观尺度上(shang)存在密度和压力的涨(zhang)落。这种涨落在宏观尺度上抵消掉了。但是如果压方面足够微(wei)小，这种不均匀性就不能抵消，液体中的相应的扰动就能(neng)表现出来。因此悬浮(fu)在液体中的微粒只要足够小，就会(hui)不停地振荡下去。卡蓬内尔明确地指(zhi)出唯一影响此效应的因素是微粒的大小(xiao)，不过他把这种(zhong)运动主要看成振荡，而德耳索根据克(ke)劳修斯把分子运动归结为平动和转动(dong)的观点，认为微粒的运动是无(wu)规则位移，这是德耳索的主(zhu)要贡献。

此后，古伊在1888——1895年期间对布朗运动进行过大(da)量的实验观察。古伊对分子(zi)行为的描述并不比卡蓬内尔等人高(gao)明，他也没有弄清涨落的见解。不过他的特别之处是(shi)他强调的不是对布朗运动的物理解(jie)释，而是把布朗运(yun)动作为探究分子运动性质的一个(ge)工具。他说：“布朗运动表明，并不(bu)是分子的运动，而是从分子运动导出的(de)一些结果能向我们提供直接的和可见的(de)证据，说明对热本质假设(she)的正确性。按照这样的观点，这(zhe)一现象的研究承担(dan)了对分子物理学的重要作用。”古伊的文献产生过重要的影响(xiang)，所以后来贝兰把布朗运(yun)动正确解释的来源归功(gong)于古伊。

到了1900年，F·埃克斯纳完成(cheng)了布朗运动前期研(yan)究的最后工作。他用了许多悬浊液(ye)进行了和他的父(fu)亲S·埃克斯纳30年前作过的同类研究。他测(ce)定了微粒在1min内的位移，与前人(ren)一样，证实了微粒的速度随粒度增(zeng)大而降低，随温度(du)升高而增加。他清楚地认(ren)识到微粒作为巨大分子加(jia)入了液体分子的热运动，指出从这一(yi)观点出发“就可以得出微粒的动能和(he)温度之间的关系。”他说：“这种可见的运动及(ji)其测定值对我们清(qing)楚了解液体内部的运动会有进一步的价(jia)值”。

以上(shang)是1900年前对布朗运动研究的(de)基本情况。自然，这些研究与分子运(yun)动论的建立是密切相关的。由麦克斯威和玻尔兹曼在60——70年代建立的气体分(fen)子运动论在概念上(shang)的一个重大发展是抛弃了对单个分子(zi)进行详细跟踪的方法，而代之以对大量(liang)分子的统计处理，这为弄清布朗运(yun)动的根源打下了基础。与布朗运动的研究有(you)密切关系的还有在60年代由格雷哈(ha)姆建立的胶体科学。所谓胶体是由粒度(du)介于宏观粒子和微观分(fen)子之间的微粒形成的分散体系，布朗运(yun)动正是胶体粒子在液体介质中表(biao)现的运动。

对于布朗运(yun)动的研究，1900年(nian)是个重要的分界线。至此，布朗运动的适当的物理模型已经(jing)显明，剩下的问题是需要(yao)作出定量的理论描述了。

爱因斯坦的(de)布朗运动理论

1905年，爱因(yin)斯坦依据分子运动论的原理提(ti)出了布朗运动的理论。就在差不多(duo)同时，斯莫卢霍夫斯基也作出(chu)了同样的成果。他们的理论(lun)圆满地回答了布朗运动的(de)本质问题。

应该指出，爱因斯(si)坦从事这一工作的历史背景是那时科学(xue)界关于分子真实性(xing)的争论。这种争论由来已久，从原子分子理论产(chan)生以来就一直存在。本世纪初，以物理(li)学家和哲学家马赫和化学家奥(ao)斯特瓦尔德为代表的一些人再次提出对(dui)原子分子理论的非难(nan)，他们从实证论或唯能论的观点出(chu)发，怀疑原子和分子的真实性，使(shi)得这一争论成为科学(xue)前沿中的一个中(zhong)心问题。要回答这一问题，除开哲(zhe)学上的分岐之外，就科学本身来说，就需要提出更有力的证据(ju)，证明原子、分子的真实存在。比如(ru)以往测定的相对原子(zi)质量和相对分子质量只是质量的(de)相对比较值，如果它们是真实存在的(de)，就能够而且也必须测得相对原(yuan)子质量和相对分子质量(liang)的绝对值，这类问题(ti)需要人们回答。

由于(yu)上述情况，象爱因斯坦在论文中指(zhi)出的那样，他的目的是“要找到能(neng)证实确实存在有一定大小的原子(zi)的最有说服力的事实。”他说：“按照热的分子(zi)运动论，由于热的(de)分子运动，大小可以用显微镜看见(jian)的物体悬浮在液体中，必定会发(fa)生其大小可以用(yong)显微镜容易观测到的运动。可能这里(li)所讨论的运动就是所谓(wei)‘布朗分子运动’”。他认为只要能实际观测到这种运动(dong)和预期的规律性，“精确测定原子的(de)实际大小就成为可(ke)能了”。“反之，要是关于这种运动的预言证明是(shi)不正确的，那么就提供了一个有份量(liang)的证据来反对热的分子(zi)运动观”。

爱(ai)因斯坦的成果大体上可分两方(fang)面。一是根据分子热(re)运动原理推导

是在t时间里，微粒在某一方向上位移的(de)统计平均值，即方均根值，D是微(wei)粒的扩散系数。这一公(gong)式是看来毫无规(gui)则的布朗运动服(fu)从分子热运动规律的必然结果(guo)。

爱因斯坦成果的第(di)二个方面是对于球形微粒，推导出了(le)可以求算阿

式中的η是介质粘度，a是微(wei)粒半径，R是气体常(chang)数，NA为阿伏加德罗常数。按(an)此公式，只要实际测得准确的扩散系(xi)数D或布朗运动均方位 得到原子和分(fen)子的绝对质量。爱因斯(si)坦曾用前人测定的糖在水中的扩散系数(shu)，估算的NA值为3.3×1023，一年后(1906)又修改为(wei)6.56×1023。

爱因斯坦(tan)的理论成果为证实分子的真(zhen)实性找到了一种方法(fa)，同时也圆满地阐明了布朗运动的根(gen)源及其规律性。下(xia)面的工作就是要用(yong)充足的实验来检验(yan)这一理论的可靠性。爱因斯坦说：“我不想在这里把可供我使用的那(na)些稀少的实验资料去同(tong)这理论的结果进行比较，而把它让给实(shi)验方面掌握这一问题(ti)的那些人去做”。“但愿有一位研(yan)究者能够立即成功地解决这里所(suo)提出的、对热理论关系重大的(de)这个问题！”爱因斯坦提出的这一(yi)任务不久之后就由贝兰(1870——1942)和斯(si)维德伯格分别出色的完成了。这里(li)还应该提到本世纪初在研究布(bu)朗运动方面一个重大的实验进(jin)展是1902年齐格蒙第(1865——1929)发明了超(chao)显微镜，用它可直接(jie)看到和测定胶体粒子的(de)布朗运动，这也就是证实了胶体粒(li)子的真实性，为此，齐格蒙第(di)曾获1925年诺贝(bei)尔化学奖。斯维德伯格测定布(bu)朗运动就是用超显微镜(jing)进行的。

贝兰测定阿伏加德罗(luo)常数的实验

1908到1913年期间，贝兰(lan)进行了验证爱因斯(si)坦理论和测定阿伏加德罗常数的实验研(yan)究。他的工作包括好几方面。在(zai)初期，他的想法是，既然在液体中进行布朗运动的微粒可(ke)以看成是进行热运动的巨(ju)大分子，它们就应该遵循分子(zi)运动的规律，因此只要找到微粒的一(yi)种可用实验观测的性质，这种性(xing)质与气体定律在逻辑上(shang)是等效的，就可以用来测定(ding)阿伏加德罗常数。1908年，他想到(dao)液体中的悬浮微粒相当(dang)于“可见分子的微型大气(qi)”，所以微粒浓度(单位体积中的数目(mu))的高度分布公式应与气压方程有相(xiang)同的形式，只是(shi)对粒子受到的浮力应加以校(xiao)正。这一公式是：ln(n／n0)=-mgh(1-ρ／ρ0)／kt。式中k是波(bo)尔兹曼常数，自k和NA的关系，公式也可写成ln(n／n0)=-NA mgh(1-ρ／ρ0)／RT。根据此公式，从实验测定(ding)的粒子浓度的高度分布(bu)数据就可以计算k和NA。

为进行这(zhe)种实验，先要制得合用的微(wei)粒。制备方法是先向树脂的酒精溶液中(zhong)加入大量水，则树脂析出成各种尺(chi)寸的小球，然后用沉降分离的方法(fa)多次分级，就可以得到大小均匀的(de)级份(例如直径约(yue)3／4μm的藤黄球)。用一些精细的方法测定小球(qiu)的直径和密度。下一步是测定悬浮(fu)液中小球的高度分布，是将悬浮(fu)液装在透明和密闭(bi)的盘中，用显微(wei)镜观察，待沉降达到平衡后，测定不(bu)同高度上的粒子浓度。可(ke)以用快速照相，然后计数。测得高度分布数据，即可计算NA。贝兰及其同事改变各(ge)种实验条件：材料(藤黄、乳香)，粒子质量(从(cong)1到50)，密度(1.20到1.06)，介质(水，浓糖水，甘油)和温度(-90°到60°)，得到的NA值是6.8×1023。

贝(bei)兰的另一种实验是测量布(bu)朗运动，可以说这是对分子热运动(dong)理论的更直接证明。根据前述(shu)的爱因斯坦对球形粒子导出的公(gong)式，只要实验液，在选定的一段(duan)时间内用显微镜观察粒子的水(shui)平投影，测得许多位(wei)移数值，再进行统计平均。贝(bei)兰改变各种实验条件，得到的NA值是(5.5-7.2)×1023。贝兰还用过一(yi)些其它方法，用各种方法得(de)到的NA值是：

6.5×1023 用类似(si)气体悬浮液分布法，

6.2×1023 用(yong)类似液体悬浮液(ye)分布法，

6.0×1023 测定浓悬浮(fu)液中的骚动，

6.5×1023 测定平动布(bu)朗运动，

6.5×1023 测定转动布朗运动(dong)。

这(zhe)些结果相当一致，都接近现代公认的数(shu)值6.022×1023。考虑到(dao)方法涉及许多物理(li)假设和实验技术(shu)上的困难，可以说(shuo)这是相当了不起的。以后的许多研(yan)究者根据其它原理(li)测定的No值都肯定了贝兰(lan)结果的正确性。与贝兰差不(bu)多同时，斯维德伯格(1907)用超显微镜观测金(jin)溶胶的布朗运动，在(zai)测定阿伏加德罗常数和(he)验证爱因斯坦理论上也作(zuo)出了出色的工作。可以说他们是最先(xian)称得原子质量的人，所以在1926年，贝兰和斯维德(de)伯格分别获得了诺贝(bei)尔物理学奖和化学(xue)奖。

就这样(yang)，布朗运动自发现(xian)之后，经过多半个世纪的研(yan)究，人们逐渐接近对它的正确(que)认识。到本世纪初，先是爱因斯坦和斯莫卢霍夫斯基的(de)理论，然后是贝兰和斯维(wei)德伯格的实验使这一重大的科学问(wen)题得到圆满地解决，并首次测定(ding)了阿伏加德罗常(chang)数，这也就是为分子的真实存(cun)在提供了一个直观的、令人信服的证据(ju)，这对基础科学和哲学有着巨大的意义(yi)。从这以后，科学上关(guan)于原子和分子真实(shi)性的争论即告终结。正如原先原子论的(de)主要反对者奥斯特瓦尔德(de)所说：“布朗运动和动力学假说的一(yi)致，已经被贝兰十(shi)分圆满地证实了，这就使那怕最挑剔的(de)科学家也得承认这是充(chong)满空间的物质的原子构成的一个实验(yan)证据”。数学家和(he)物理学家彭加勒在1913年(nian)总结性地说道：“贝兰对原子数目的光辉测定(ding)完成了原子论的胜利”。“化学家的原子论现在是一个真实存(cun)在”。

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